в чем заключается метод якоби

Метод Якоби 4

Вы будете перенаправлены на Автор24

Метод Якоби относится к итерационным способам решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Итерация — результат повторяющегося алгоритма, последовательно применяемого к каждому элементу множества, иными словами их обработка методом перебора.

Другими популярными методами итерации являются метод Зейделя и метод простой итерации.

$d_i = b_i/a_, i = 1, 2. n$

Формула для расчета по методу простой итерации:

Координатная (матричная) запись:

Критерий окончания итераций в методе Якоби:

Готовые работы на аналогичную тему

$\begin\begin10x_1 + x_2 − x_3 = 11\\x_1 + 10x_2−x_3 = 10\\−x_1 + x_2 + 10x_3 = 10\end\end$

Прежде всего, следует привести систему уравнений к виду, удобному для итераций:

$\begin\beginx_1 = −0,1x_2 + 0,1x_3 + 1,1\\x_2 = −0,1x_1 + 0,1x_3 + 1\\x_3 = 0,1x_1 − 0,1x_2 + 1\end\end$

Начальное приближение (вектор правой части) выглядит так:

Вычислим первую итерацию:

$x_1^ <(1)>= −0,1 × 1 + 0,1 × 1 + 1,1 = 1,1\\x_2^ <(1)>= −0,1 × 1,1 + 0,1 + 1 = 0,99\\x_3^ <(1)>= 0,1 × 1,1 − 0,1 × 1 + 1=1,01$

Приближения к решению вычислим аналогично:

Определим нормы разности векторов:

$\Vert x^ <(3)>− x^<(2)>\Vert_∞ = 0,002, \Vert x^ <(4)>− x^<(3)>\Vert_∞ = 0,00002$

Ответ:

$x_1 = 1,102; x_2 = 0,991; x_3 = 1,101$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 02 2021

Источник

Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

В данной статье мы расскажем общие сведения об итерационных методах решения СЛАУ, познакомим с методом Зейделя и Якоби, а также приведем примеры решения систем линейных уравнений при помощи данных методов.

Общие сведения об итерационных методах или методе простой итерации

Метод итерации — это численный и приближенный метод решения СЛАУ.

Метод Якоби

Элементы (компоненты) вектора d вычисляются по следующей формуле:

Расчетная формула метода простой итерации:

x ( n + 1 ) = B x ( x ) + d

Матричная запись (координатная):

Критерий окончания в методе Якоби:

Решить СЛАУ методом Якоби:

Приводим СЛАУ к удобному виду для итерации:

В таком случае, первая итерация имеет следующий внешний вид:

Аналогичным способом вычисляются приближения к решению:

Далее вычисляем нормы разности векторов:

Метод Зейделя

Метод Зейделя — метод является модификацией метода Якоби.

За условия сходимости и критерий окончания итераций можно принять такие же значения, как и в методе Якоби.

Решить СЛАУ методом Зейделя. Пусть матрица системы уравнений А — симметричная и положительно определенная. Следовательно, если выбрать начальное приближение, метод Зейделя сойдется. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы не накладывается.

Решим 3 системы уравнений:

Приведем системы к удобному для итерации виду:

Отличительная особенность, условие сходимости выполнено только для первой системы:

Вычисляем 3 первых приближения к каждому решению:

Итерационный процесс разошелся.

Итерационный процесс зациклился.

Метод простой итерации

Если А — симметричная и положительно определенная, то СЛАУ приводят к эквивалентному виду:

Расчетная формула имеет следующий внешний вид:

Источник

В числовая линейная алгебра, то Метод Якоби представляет собой итерационный алгоритм определения решений строго по диагонали система линейных уравнений. Решается для каждого диагонального элемента и подставляется приблизительное значение. Затем процесс повторяется до тех пор, пока он не сойдется. Этот алгоритм представляет собой урезанную версию Метод преобразования Якоби диагонализации матрицы. Метод назван в честь Карл Густав Джейкоб Якоби.

Содержание

Описание

быть квадратной системой п линейные уравнения, где:

потом А можно разложить на диагональ компонент D, нижняя треугольная часть L и верхняя треугольная часть U:

Затем решение получается итеративно через

Алгоритм

Конвергенция

Достаточным (но не необходимым) условием сходимости метода является то, что матрица А строго или несводимо диагонально доминирующий. Строгое диагональное преобладание строки означает, что для каждой строки абсолютное значение диагонального члена больше, чем сумма абсолютных значений других членов:

Иногда метод Якоби сходится, даже если эти условия не выполняются.

Отметим, что метод Якоби не сходится для всех симметричных положительно определенная матрица.Например

Примеры

Пример 1

Следующая итерация дает

Пример 2

Предположим, нам дана следующая линейная система:

Если мы выберем (0, 0, 0, 0) в качестве начального приближения первое приближенное решение дается выражением

Используя полученные приближения, итерационная процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность. Ниже приведены приблизительные решения после пяти итераций.

Пример 3 с использованием Python и NumPy

Следующая численная процедура просто выполняет итерацию для получения вектора решения.

Весовой метод Якоби

Сходимость в симметричном положительно определенном случае

Спектральный радиус может быть минимизирован для конкретного выбора ω = ω выбрать >> следующее

Источник

Метод Якоби

Содержание

Постановка задачи

Возьмём систему линейных уравнений:

, где

Или

Описание метода

Для того, чтобы построить итеративную процедуру метода Якоби, необходимо провести предварительное преобразование системы уравнений к итерационному виду . Оно может быть осуществлено по одному из следующих правил:

где в принятых обозначениях D означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы A, а все остальные нули; тогда как матрицы U и L содержат верхнюю и нижнюю треугольные части A, на главной диагонали которых нули, — единичная матрица.

Тогда процедура нахождения решения имеет вид:

Или в виде поэлементной формулы:

где счётчик итерации.

В отличие от метода Гаусса-Зейделя мы не можем заменять на в процессе итерационной процедуры, т.к. эти значения понадобятся для остальных вычислений. Это наиболее значимое различие между методом Якоби и методом Гаусса-Зейделя решения СЛАУ. Таким образом на каждой итерации придётся хранить оба вектора приближений: старый и новый.

Условие сходимости

Приведем достаточное условие сходимости метода.

Условие остановки

Условие окончания итерационного процесса при достижении точности в упрощённой форме имеет вид:

(Существует более точное условие окончания итерационного процесса, которое более сложно и требует дополнительных вычислений) [источник не указан 725 дней]

Алгоритм

Ниже приведён алгоритм реализации на C++

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Метод Якоби» в других словарях:

Метод Якоби для собственных значений — У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Якоби. В линейной алгебре метод Якоби для собственных значений итерационный метод для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы. Он… … Википедия

Метод Якоби для линейных систем — У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Якоби. Метод Якоби метод простой итерации для решения системы линейных алгебраических уравнений. Содержание 1 Постановка задачи 2 Описание метода … Википедия

Метод Гаусса — Зейделя — У этого термина существуют и другие значения, см. метод покоординатного спуска. Метод Гаусса Зейделя[1] является классическим итерационным методом решения системы линейных уравнений. Содержание 1 Постановка задачи 2 Метод … Википедия

Метод Гаусса-Зейделя — Метод Гаусса Зейделя[1] является классическим итерационным методом решения системы линейных уравнений. Содержание 1 Постановка задачи 2 Метод 3 Условие сходимости … Википедия

Метод Гаусса—Зейделя — Метод Гаусса Зейделя[1] является классическим итерационным методом решения системы линейных уравнений. Содержание 1 Постановка задачи 2 Метод 3 Условие сходимости … Википедия

Метод Зейделя — Метод Гаусса Зейделя[1] является классическим итерационным методом решения системы линейных уравнений. Содержание 1 Постановка задачи 2 Метод 3 Условие сходимости … Википедия

Якоби, Карл Густав Якоб — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Якоби. Карл Густав Якоб Якоби Carl Gustav Jacob Jacobi … Википедия

Якоби, Карл Густав Яков — Карл Густав Якоб Якоби Carl Gustav Jacob Jacobi Дата рождения: 10 декабря 1804 Место рождения: Потсдам Дата смерти: 18 февраля 1851 Место смерти … Википедия

Якоби Карл Густав Якоб — Карл Густав Якоб Якоби Carl Gustav Jacob Jacobi Дата рождения: 10 декабря 1804 Место рождения: Потсдам Дата смерти: 18 февраля 1851 Место смерти … Википедия

Якоби Карл Густав Яков — Карл Густав Якоб Якоби Carl Gustav Jacob Jacobi Дата рождения: 10 декабря 1804 Место рождения: Потсдам Дата смерти: 18 февраля 1851 Место смерти … Википедия

Источник

Метод Якоби для линейных систем

Содержание

Постановка задачи

Возьмём систему линейных уравнений:

, где

Или

Описание метода

Для того, чтобы построить итеративную процедуру метода Якоби, необходимо провести предварительное преобразование системы уравнений к итерационному виду . Оно может быть осуществлено по одному из следующих правил:

где в принятых обозначениях D означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы A, а все остальные нули; тогда как матрицы U и L содержат верхнюю и нижнюю треугольные части A, на главной диагонали которых нули, — единичная матрица.

Тогда процедура нахождения решения имеет вид:

где счётчик итерации.

В отличие от метода Гаусса-Зейделя мы не можем заменять на в процессе итерационной процедуры, т.к. эти значения понадобятся для остальных вычислений. Это наиболее значимое различие между методом Якоби и методом Гаусса-Зейделя решения СЛАУ. Таким образом на каждой итерации придётся хранить оба вектора приближений: старый и новый.

Условие сходимости

Приведем достаточное условие сходимости метода.

Условие остановки

Условие окончания итерационного процесса при достижении точности в упрощённой форме имеет вид:

(Существует более точное условие окончания итерационного процесса, которое более сложно и требует дополнительных вычислений) [источник не указан 557 дней]

Алгоритм

Ниже приведён алгоритм реализации на C++

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Метод Якоби для линейных систем» в других словарях:

Якоби, Карл Густав Якоб — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Якоби. Карл Густав Якоб Якоби Carl Gustav Jacob Jacobi … Википедия

метод — метод: Метод косвенного измерения влажности веществ, основанный на зависимости диэлектрической проницаемости этих веществ от их влажности. Источник: РМГ 75 2004: Государственная система обеспечения еди … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Система линейных алгебраических уравнений — Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛАУ) в линейной алгебре это система уравнений вида (1) … Википедия

МАЛОГО ПАРАМЕТРА МЕТОД — в т е о р и и дифференциальных уравнений приемы построения приближенных решений дифференциальных уравнений и систем, зависящих от параметра. 1) М. п. м. для обыкновенных дифференциальных уравнении. Обыкновенные дифференциальные уравнения, к к рым … Математическая энциклопедия

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОЗИЦИОННОЕ — решение задачи оптимального управления математической теории, состоящей в синтезе оптимального управления в виде стратегии управления по принципу обратной связи, как функции текущего состояния (позиции) процесса (см. [1] [3]). Последнее… … Математическая энциклопедия

Трёхдиагональная матрица — Не следует путать с матрицей Якоби отображения. Трёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби[1] называют матрицу следующего вида … Википедия

СССР. Технические науки — Авиационная наука и техника В дореволюционной России был построен ряд самолётов оригинальной конструкции. Свои самолёты создали (1909 1914) Я. М. Гаккель, Д. П. Григорович, В. А. Слесарев и др. Был построен 4 моторный самолёт… … Большая советская энциклопедия

ЖЕСТКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА — система обыкновенных дифференциальных уравнений, при численном решении к рой явными методами типа Рунге Кутта или Адамса, несмотря на медленное изменение искомых переменных, шаг интегрирования обязан оставаться малым. Попытки уменьшить время… … Математическая энциклопедия

Список алгоритмов — Эта страница информационный список. Основная статья: Алгоритм Ниже приводится список алгоритмов, группированный по категориям. Более детальные сведения приводятся в списке структур данных и … Википедия

Источник