в чем разница между лучом и отрезком

Урок геометрии в 1-м классе «Луч. Сходство и различие между лучом и прямой, лучом и отрезком. Построение лучей»

Стратегическая цель урока: развитие умения анализировать, обобщать; развитие коммуникативных качеств (умение слушать и слышать)

Проблема: дети не имеют полного представления о геометрической фигуре “луч”.

Текст: Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны.

Тезис: Даже оказавшись на правильном пути, вы рискуете сойти с него, если остановитесь хоть на минуту. (У. Роджерс)

Комментарий хода урока.	Развитие личностных качеств и психических процессов.	Способы и приёмы ненасильственного воздействия.
Учитель, организуя детей на урок, просит поприветствовать улыбкой друг друга и гостей. Показать “мордашки”, которые соответствуют настроению. Читает стихотворение:

Я рада новой встрече с вами,
Мы снова вместе – вы и я.
Начинаем наш урок – он для вас.
Я желаю вам удачи, в добрый час.

Положительные эмоции, аудиальный канал восприятия.Педагогика сотрудничества.

Логико-психологический приём: вербальный (стихотворение)

Логико-психологический приём: приём соучастия (слова со значением объединения)(Дети читают изречение и высказывают своё мнение о смысле прочитанных слов) Даже оказавшись на правильном пути, вы рискуете сойти с него, если остановитесь хоть на минуту. (У. Роджерс)

Вывод: обучение нужно, чтобы не останавливаться на достигнутом, развиваться дальше.Кинестический канал, самостоятельность мышления, эффективное внимание.Педагогика сотрудничества.

I этап. Заинтересовать.

Логико-психологический приём: вербальный (высказывание)

II этап. Вызвать на размышление.

Логико-психологический приём: вопросно-ответный ход рассуждения.

Аргументация: довод от личного опыта.Учитель предлагает потренировать своё внимание. Игра. Дети смотрят на фигуры 5 секунд, запоминают и рисуют у себя в тетрадях.

— Дети обмениваются тетрадями и проверяют друг у друга.
— Кто выполнил без ошибок?Визуальный канал восприятия, зрительная память. Умение анализировать, тактичность, толерантность.Педагогика сотрудничества.

Логико-психологический приём: (ситуативная работа в группах)

Психологический приём: психологическая пауза, похвала в ситуации успеха.Сегодня мы продолжим путешествие с девочкой (показываю). А как её зовут? Точка.

Точке очень понравилось гулять по прямой линии. Шла однажды точка по прямой и вдруг прибежали ножницы, щелкнули перед самым Точкиным носом и разрезали прямую.

— Ты что, Точка, не знаешь разве, что туда идти нельзя?
— Но почему?
— А там тебя вредная резинка поджидает, хочет пакость тебе сделать.
— Какую?
— Да стереть всё, чтобы ты не путешествовала дальше.
— Спасибо вам, ножницы! Тогда я пойду в другую сторону.

Скажите, а как называется получившаяся фигура? Что произошло когда щёлкнули ножницы? (Одну сторону можно продолжить. Получился луч.) Луч – это часть прямой, у которой есть начало, нет конца.Эффективное внимание, аудиальный, кинестический каналы восприятия, воображение, смысловая память, умение анализировать, визуальный канал.Педагогика сотрудничества

I этап. Заинтересовать.

Логико-психологический приём: вербальный (сказка)

II этап. Вызвать на размышление.

Логико-психологический приём: вопросно-ответный ход рассуждения.

Психологический приём: похвала в ситуации успеха.— А! – радостно сказала Точка.
— Я знаю почему они так называются и на что они похожи
— А вы, ребята, знаете? (Они похожи на солнечные лучи)
— Да, подтвердили Ножницы

— Солнечные начинаются на Солнце и идут от него без конца, если только не встретят что-нибудь на своём пути. Например Луну или спутник.

— А что получится, если луч встретится с предметом? (Получится отрезок, т. к. будет начало и конец)

Игра “Солнечная мама”.

Например: Наша солнечная мама покупает для нас в солнечном магазине солнечную пастилу. По вечерам, когда небо ясное и нет дождя, она рассказывает нам сказку про один волшебный лучик, который принёс людям счастье. Мама ругает нас если мы долго не хотим вставать. Но если мы просыпаемся рано, она нежно целует нас и отпускает одних в то место на земле, где больше всего не хватает света и тепла и т.д.

После того как дети придумают рассказ о солнечной маме, попросите их нарисовать её портрет. Из рисунков детей делается выставка: “Наши солнечные мамы”.Визуальный и аудиальный канал восприятия.Педагогика сотрудничества

I этап. Вызвать на размышление.

Логико-психологический приём: вопросно-ответный ход рассуждения.

Логический приём: аналогия.

Психологический приём: похвала в ситуации успеха.— Молодцы! Пора вставать. Теперь мы будем отдыхать.

Останемся лучиками до конца урока.

Есть лучики и не солнечные (загадки).Аудиальный и кинестический каналы, двигательная активность, артистизм, чувство ритма.Педагогика сотрудничества.

II этап. Соорганизация.— Начертите в тетради прямую. Отметьте на ней точку А. Часть прямой, которая лежит по одну сторону от точки А, выделите цветным карандашом. Получился луч с началом в точке А.

— Есть ли у луча конец? (нет)
— Имеет ли луч длину? (нет)Уверенность в себе, самостоятельность, гибкость мышления.Педагогика сотрудничества

III этап. Вызвать на размышление.

Психологический приём: похвала в ситуации успеха.Дети получают листы с заданием (найди на рисунке только лучи и обведи их красным карандашом)Уверенность в себе, самостоятельность, гибкость мышления.Педагогика сотрудничества

Психологический приём: похвала в ситуации успеха.Дети по рядам делятся на команды и получают конверт с заданием от вредной резинки.

— Сколько лучей вы насчитаете на рисунке?Работа в парах. Визуальный канал, умение анализировать, тактичность, толерантность.Педагогика сотрудничества

Психологический приём: визуальный (иллюстрации).

Аргументация: довод от факта

Точка однажды решила проверить
На сколько она убежит от себя
И если мы будем ей на слово верить
Ушла далеко она очень, друзья.

Прошла она лес, и пустыни, и горы,
Хоть солнце сияло, гремела гроза-
Всегда по прямой, куда смотрят глаза
Когда оглянулась, за нею вослед

Тянулся от домика тоненький след
О новой фигуре разносится весть:
Конца в ней пусть нету, начало-то есть!
И солнце, тихонько взойдя из-за туч,
Сказало: “Друзья! Назовём его… (луч)!”

Источник

Какая разница между лучом и отрезком?

Какая разница между лучом и отрезком.

Луч имеет начало, но не имеет конца.

А отрезок имеет начало и конец.

Элли начертила луч и отрезок ав?

Элли начертила луч и отрезок ав.

Одним из концов отрезка было начало луча.

Какие фигуры могут быть пересечением этого луча и отрезка ав.

Как отличить прямую от отрезка и от луча?

Как отличить прямую от отрезка и от луча?

Что называют лучом что называют отрезком?

Что называют лучом что называют отрезком.

Построй луч АВ и отметь на нем точки С и К так, чтобы точка К находилась между точками А и С?

Построй луч АВ и отметь на нем точки С и К так, чтобы точка К находилась между точками А и С.

Запиши названия получившихся лучей и отрезков.

Два луча с общим отрезком?

Два луча с общим отрезком.

Можно ли сравнить по длине : 1) луч с лучом ; 2) отрезок с отрезком ; 3)отрезок с лучом ; 4)прямую с лучом ; 5)прямую с прямой ; 6) прямую с отрезком?

Можно ли сравнить по длине : 1) луч с лучом ; 2) отрезок с отрезком ; 3)отрезок с лучом ; 4)прямую с лучом ; 5)прямую с прямой ; 6) прямую с отрезком?

Отметь на луче AB точки С и К так, чтобы точка К находилась между точками А и В?

Отметь на луче AB точки С и К так, чтобы точка К находилась между точками А и В.

Запиши названия получившихся лучей и отрезков.

Помогите в чем разница отрезка и ломаной?

Помогите в чем разница отрезка и ломаной?

Пожалуйста на 8 ноября.

Что называют лучом?

Что называют лучом?

Что называют отрезком?

Источник

Содержание:

В практической деятельности для определения расстояния между пунктами находят длину отрезка, соединяющего рассматриваемые пункты. Если не принимать во внимание физические свойства предметов, то многие из них дают представление об отрезках, например карандаши, балки различных металлических конструкций и т. д.

Рассмотрим понятие отрезка. Для определения отрезка воспользуемся основным свойством (аксиомой) расположения точек на прямой, которое формулируется следующим образом:

Аксиома: Из трех точек на прямой единственная точка лежит между двумя другими.

Пусть на прямой q лежат три точки А, В и С (рис. 33, а). Точка С лежит между точками А и В. Можно говорить также, что точки А и В лежат по разные стороны от точки С или что точки А и С лежат по одну сторону от точки Б.

Определение. Отрезком называется геометрическая фигура, состоящая из двух точек прямой и всех ее точек, лежащих между данными точками.

Данные точки называются концами отрезка, остальные его точки называются внутренними точками.

Отрезок, концами которого являются точки А и В, обозначается АВ или ВА. Иногда отрезки обозначаются также строчными буквами латинского алфавита а, b, с и т. д.

Если точки А и B — концы отрезка АВ, то говорят, что отрезок АВ соединяет эти точки.

Можно сказать, что отрезок АВ есть фигура, состоящая из двух точек А, В и части прямой, ими ограниченной.

Подчеркнем, что отрезок LТ состоит из точек L, T и всех точек X прямой LТ, лежащих между точками L и Т (рис. 33, б).

Например, на рисунке 33, B изображены отрезки ЕF, FС, СD и DЕ, которые лежат на прямых а, b, с и d соответственно.

Точка О является внутренней точкой отрезка СD, а точка Р не является внутренней точкой отрезка ЕF. На рисунке 33, в изображены отрезки BQ и DC₁, которые лежат в гранях куба, и точка R, являющаяся внутренней точкой отрезка DC₁.

Пользуясь отрезками, мы можем конструировать новые геометрические фигуры. Например, на рисунке 34, а изображена фигура, образованная отрезками АВ, ВС, СD, DЕ, DB, DF, ЕF, FА.

На рисунке 34, B изображен куб и геометрическая фигура, образованная отрезками АВ, ВС, СD, которые лежат в гранях этого куба.

На рисунке 34, в изображены отрезки АВ и СD, которые пересекаются в точке О. Точка О является внутренней точкой каждого из этих отрезков.

Отрезки FТ и ЕА, изображенные на рисунке 34, в, имеют общую точку Е. Точка Е одновременно является внутренней точкой отрезка FТ и концом отрезка ЕА.

Если отрезок АВ не пересекает прямую l, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от прямой l.

Например, точки Р и А лежат по одну сторону прямой FТ, так как отрезок РА и прямая FТ не пересекаются (см. рис. 34, в).

Если отрезок АВ пересекается с прямой l во внутренней точке отрезка АВ, то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от прямой l.

Например, точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ (см. рис. 34, в).

Более подробное объяснение:

Прямую можно представить как туго натянутую нить, бесконечную в обе стороны. Прямая изображается отрезком, который может быть продолжен в обе стороны.

Луч и отрезок — это части прямой. Луч можно представить как луч от фонарика, а отрезок — как карандаш. Луч состоит из точки прямой (начало луча) и всех ее точек, лежащих по одну сторону от данной точки. Отрезок состоит из двух точек прямой (концов отрезка) и всех ее точек, лежащих между двумя данными точками.

На рисунке 1 показаны: прямая АВ (или ВА, или ), луч АВ (или ), отрезок АВ (или ВА, или ). При назывании или записи луча двумя буквами на первом месте ставится начало луча.

Измерение отрезков

Для сравнения отрезков их можно наложить друг на друга. Если отрезки совпадут своими концами, то они равны, если нет — то отрезок, который лежит внутри другого отрезка, считается меньшим. На рисунке 2 отрезок АВ меньше отрезка CD, то есть АВ а и говорят: «Отрезок b больше отрезка а».

Например, на рисунке 38, B отрезок АQ составляет часть отрезка АF, отрезок КЕ — часть отрезка КР.

Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то говорят, что она разбивает, или делит, отрезок на два отрезка АС и СВ.

Например, на рисунке 38, в точка F разбивает отрезок ОЕ на отрезки ОF и FЕ, а точка Т разбивает отрезок ЕF на отрезки ЕТ и ТF.

В дальнейшем будем предполагать, что выполняется следующая аксиома.

Аксиома откладывания отрезка. На любом луче от его начала можно отложить единственный отрезок, равный данному.

Эта аксиома означает, что если дан какой-либо отрезок АВ и произвольный луч h с началом в точке О, то на луче h существует единственная точка X, такая, что отрезок ОХ равен отрезку АВ.

Серединой отрезка называется точка, делящая его на два равных отрезка.

Например, на рисунке 38, B изображена точка О — середина отрезка ТR (ОТR, ТО = ОR).

Измерение длин отрезков

В практической деятельности часто необходимо измерять длины отрезков. Знание длин отрезков позволяет сравнивать их, не накладывая один на другой.

Измерение длин отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, который принимается за единицу измерения (единичный отрезок).
Длина отрезка — это геометрическая величина, которая показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

Длина отрезка АВ обозначается АВ.

Длина отрезка может измеряться в миллиметрах (мм), сантиметрах (см), дециметрах (дм), метрах (м) и т. д.

Например, если за единицу измерения принять отрезок в 1 см, то для определения длины отрезка необходимо узнать, сколько раз в измеряемом отрезке укладывается сантиметр и его части.

Если в отрезке АВ отрезок в 1 см укладывается 3 раза, то говорят, что отрезок АВ имеет длину, равную 3 см, и пишут: АВ = 3 см. Если в отрезке CD сантиметр укладывается 2 раза и в остатке 5 раз укладывается десятая часть сантиметра, то длина отрезка СD равна 2,5 см, т. е. СD = 2,5 см.

При выбранной единице измерения длину отрезка можно выразить некоторым положительным числом. Если два отрезка равны, то единичный отрезок и его части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины.

При измерении отрезков опираются на следующие свойства длины отрезков.

Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Теперь дадим определение расстояния между точками.

Определение. Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, соединяющего данные точки.

Если две точки совпадают, то расстояние между ними считается равным нулю.

Расстояние между двумя точками А и B обозначается АB или ВА.

Пример:

Точка B делит отрезок АС на два отрезка АВ и ВС. Вычислите длину отрезка АС, если известно, что АB = 2 см, а ВС = 1 см (рис. 39, а).

Длина отрезка АС равна сумме длин отрезков, на которые он делится точкой B. Следовательно, АС=АВ + ВС = 2+1 = 3 (см).

Пусть точка О делит отрезок ТF — диагональ грани прямоугольного параллелепипеда — на отрезки ТО и ОF (рис. 39, б, в).

Окружность и круг

Дадим определение еще одной геометрической фигуры.

Определение. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от данной точки этой плоскости.

Данная точка называется центром окружности.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Иногда радиусом окружности называют длину отрезка, соединяющего центр окружности с какой-либо ее точкой.

Из определения следует, что все радиусы окружности равны.

На рисунке 40, а изображены окружности с центрами в точках О и S. Параллели имеют форму окружностей, расположенных на поверхности земного шара (рис. 40, б).

Например, на рисунке 40, в изображены радиусы ОА, ОВ и ОС. Окружность с центром в точке О и радиусом R обозначается (O, R) (читают: «Окружность с центром в точке О и радиусом R»).

Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Например, на рисунке 41, а изображены хорды FК, DB и QЕ, а на рисунке 41, B изображена ломаная АВСDF, каждое звено которой является хордой окружности.

Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр окружности (или длина такой хорды). Центр окружности делит любой ее диаметр на два равных отрезка.

Например, хорда QЕ является диаметром окружности, так как проходит через центр О этой окружности (см. рис. 41, а).

Дугой окружности называется каждая из частей, на которые делят окружность любые две ее точки.

Например, на рисунке 42 точки А и B делят окружность на две дуги АОВ и АFB, которые обозначаются АОВ и AFB (читают: «Дуга АОВ и дуга АFB»).

Прочертить окружность на местности для разбивки цветочной клумбы можно с помощью веревки и колышка (рис. 41, в).

Определение. Кругом называется геометрическая фигура, состоящая из окружности и части плоскости, ограниченной этой окружностью (рис. 43).

Окружность называется границей круга.

Круг с центром в точке О и радиусом R обозначается (О, R) (читают: «Круг с центром в точке О и радиусом R»).

Окружность с центром в точке О и радиусом R называется границей круга с центром в точке О и радиусом R.

Центром, радиусом, хордой и диаметром круга называются центр, радиус, хорда и диаметр его границы.

Плоская геометрическая фигура называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу, и называется неограниченной, если не существует круга, содержащего все точки этой фигуры.

Любой отрезок АВ — ограниченная фигура, так как для него существует круг некоторого, быть может, достаточно большого радиуса, которому принадлежат все точки этого отрезка. Например, любой отрезок АВ принадлежит кругу с центром в точке А и радиусом R=АВ.

Примером неограниченной фигуры является любая прямая или луч. Не существует круга, которому принадлежат все точки прямой. Для круга сколь угодно большого радиуса найдутся точки прямой, которые не принадлежат этому кругу.

Сравнение и измерение углов

Если из точки провести два луча, то получим угол. Эти лучи называются сторонами угла, а их общая точка — его вершиной. При записи угла тремя большими буквами вершина угла записывается в центре.

На рисунке 4 лучи АВ и АС — стороны угла ВАС (или CAB), точка А — вершина угла. Если понятно из рисунка, о каком угле идет речь, то его обозначают одной буквой при вершине угла: Часто углы обозначают числами, поставленными внутри угла у его вершины, или малыми буквами греческого алфавита: (альфа), (бета), (гамма), (фи). Обычно равные углы на чертеже обозначают равным числом дуг.

Угол, изображенный на плоскости, делит ее на две части, каждая из которых называется плоским углом. На рисунке 5 это углы и . Далее мы будем рассматривать плоские углы. Слово «плоский» при названии углов употреблять не будем.

Сравнить углы можно наложением, совместив сторону одного угла со стороной другого. Если углы совпадут, то они равны; если нет, то угол, который лежит внутри другого угла, считается меньшим. На рисунке 6 меньше, чем

Измерение углов

Если стороны угла повернуть вокруг его вершины так, чтобы они образовали прямую, то получим развернутый угол (рис. 7).

Углы можно сравнить, измерив их величины. Углы измеряются в градусах. Величину развернутого угла принимают за 180°. Тогда — это часть развернутого угла, которая получится, если из его вершины провести лучи, делящие развернутый угол на 180 равных частей. Углы измеряют при помощи транспортира (рис. 8). Транспортир также позволяет построить угол данной градусной меры.

Виды углов: угол, меньший 90°, называется острым; равный 90°, — прямым; больший 90°, но меньший 180°, — тупым углом (рис. 9).

Неизвестный угол при решении задач иногда обозначают или °. Буквами обозначают и угол, и его градусную меру.

Полуплоскость

Пусть l — некоторая прямая на плоскости. Тогда эта прямая разделяет множество остальных точек плоскости на два множества, каждое из которых вместе с прямой l называется полуплоскостью. Прямая l называется границей каждой из полуплоскостей.

Полуплоскость с границей l характеризуется следующим образом. Если две точки лежат по одну сторону от прямой l, то эти точки лежат в одной полуплоскости с границей l. Если две точки лежат по разные стороны от прямой l, то эти точки лежат в разных полуплоскостях с границей l.

Например, точки А и В лежат в одной полуплоскости с границей l, а точки С и D лежат в разных полуплоскостях с границей l (рис. 47, а).

Определение. Полуплоскостью называется геометрическая фигура, состоящая из прямой и всех точек плоскости, лежащих по одну сторону от данной прямой.

Данная прямая называется границей полуплоскости.

Угол и его определение

Пусть на плоскости даны два луча h, q, имеющие общее начало О. Тогда остальные точки плоскости разделяются этими лучами на две части, каждая из которых вместе с лучами h и q называется углом (рис. 47, б).

Определение. Углом называется геометрическая фигура, состоящая из двух лучей с общим началом и одной из частей плоскости, на которые эти лучи разделяют остальные точки плоскости.

Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла.

Угол с вершиной О и сторонами h, q обозначается hq или O (говорят: «Угол hq» или «Угол О»).

Если на сторонах угла с вершиной А указаны, например, точки С и F, тогда этот угол можно обозначать CAF или FАС (см. рис. 47, б).

Заметим, что два луча с общим началом являются сторонами двух углов. Тот из углов, который хотят рассматривать, на рисунке отмечается дугой.

На рисунке 47, в дугой отмечен один из углов, а двумя дугами — другой из углов, сторонами которых служат лучи ОА и ОВ.

Развернутым углом называется угол, стороны которого являются противоположными лучами. На рисунке 47, в изображен развернутый угол с вершиной Т.

Если два луча с общим началом совпадают, то говорят, что они являются сторонами нулевого угла.

Для каждого ненулевого угла определены его внутренняя и внешняя области. Внутренней областью угла называется множество точек этого угла, не принадлежащих его сторонам.

Внешней областью угла называется множество точек плоскости, не принадлежащих углу.

На рисунке 48, а показаны точка А, которая лежит во внутренней области неразвернутого угла FOE, и точка В, лежащая во внешней области этого угла.

Если начало луча совпадает с вершиной угла и луч лежит во внутренней области данного угла, то говорят, что этот луч делит угол на два угла.

Например, на рисунке 48, B луч SF делит угол ASO на два угла: ASF и FSO.

Любой луч с началом в вершине развернутого угла, не совпадающий с его сторонами и лежащий в его внутренней области, делит этот развернутый угол на два угла.

Например, луч FT, не совпадающий с лучами FC и FD, делит развернутый угол CFD с вершиной F на два угла: CFT и TFD (рис. 48, в).

Сравнение углов

Пусть 1 и 2 — два неразвернутых угла (рис. 49, а). Для сравнения этих углов наложим один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие стороны были расположены в одной полуплоскости.

Если две другие стороны также совместятся, то совместятся и сами углы, а следовательно, они равны. Если при наложении эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который является частью другого угла.

Например, на рисунке 49, B 1 составляет часть 2, поэтому l меньше 2 (в этом случае пишут, что 1 l и читают: «Угол 1 меньше угла 2» или «Угол 2 больше угла 1»).

Если угол неразвернутый, то он может быть меньше или больше развернутого.

В дальнейшем, если не будет оговорено иное, будем рассматривать углы, меньшие развернутого угла или развернутые.

Далее будем пользоваться следующей аксиомой.

Аксиома откладывания угла в данную полуплоскость. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить единственный угол, равный данному неразвернутому углу.

Эта аксиома означает, что если дан какой-либо луч OA и некоторый угол CDF, то в каждой из двух полуплоскостей, границей которой является прямая ОА, существует единственный луч ОВ, такой, что угол CDF равен углу АОВ (рис. 49, в).

Определение. Биссектрисой угла называется луч с началом в вершине этого угла и делящий его на два равных угла.

Измерение углов

Измерение углов основано на сравнении их с некоторым углом, который принимается за единицу измерения. За единицу измерения углов принят угол в один градус (градус) — угол, равный части развернутого угла.

Некоторые части градуса имеют специальное название. Например, часть градуса называется минутой и обозначается знаком «’», а часть минуты называется секундой и обозначается знаком «»».

Градусная мера угла — это геометрическая величина, которая показывает, сколько раз угол в один градус и его части укладываются в данном угле.

Для измерения углов используется транспортир (рис. 50, а).

Например, на рисунке 50, а изображен угол АОВ, градусная мера которого равна 60°. На рисунке 50, B изображен угол CAD, градусная мера которого равна 45° и BAD=90°.

Угол, градусная мера которого равна 35 градусов 40 минут и 12 секунд, обозначают следующим образом: 35°40’12».

Так как градус составляет развернутого угла, то градусная мера развернутого угла равна 180°. Градусная мера нулевого угла считается равной 0°.

Каждый угол имеет определенную градусную меру.

Если два угла равны, то угол в один градус и его части укладываются в этих углах равное число раз, т. е. равные углы имеют равные градусные меры.

Если один угол меньше другого, то угол в один градус или его части укладываются в нем меньшее число раз, чем в другом угле.

При измерении углов опираются на следующие свойства градусной меры углов.

Понятие угла и его градусной меры используется на практике, например при определении курса корабля или в геодезии при определении азимута предмета — градусной меры угла между направлением на север и направлением на предмет (рис. 50, в).

Если дан угол, градусная мера которого равна , то можно говорить, что «дан угол, равный ».

Угол называется прямым, если его градусная мера равна 90° (рис. 51, а), острым — если больше 0° и меньше 90° (рис. 51, б), тупым — если больше 90° и меньше 180° (рис. 51, в).

Ранее мы обсуждали, что понимается под теоремой. Теперь докажем теоремы, которые характеризуют свойства смежных и вертикальных углов.

Свойства смежных и вертикальных углов

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются противоположными лучами.

Например, углы АОВ и ВОС, изображенные на рисунке 52, а, являются смежными.

Два угла называются вертикальными, если они имеют общую вершину и стороны одного угла являются лучами, противоположными сторонам другого.

Например, на рисунке 52, B изображены вертикальные углы 1 и 2, 3 и 4. На рисунке 52, в изображены вертикальные углы 5 и 6, лежащие в той же плоскости, в которой лежит грань АВВ₁А₁ прямой призмы.

Теорема 1 (о свойстве смежных углов). Сумма градусных мер смежных углов равна 180°.

Пусть углы АОС и ВОС смежные (рис. 53, а). Так как луч ОС делит развернутый угол с вершиной О на два угла АОС и BОС, то AOC + BOC = AOB.

А поскольку AOB = 180°, то AOC + BOC = 180°.

Теорема 2 (о свойстве вертикальных углов). Вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые

Теперь рассмотрим понятие перпендикулярных прямых. Пусть две прямые l₁ и l₂ пересекаются в точке О. При этом образуются четыре неразвернутых угла, сторонами которых являются лучи данных прямых с началом в точке О. Если один из этих углов прямой (рис. 54, а), то, как следует из теорем 1 и 2, и остальные углы также прямые. В этом случае говорят, что прямые l₁ и l₂ при пересечении образуют прямые углы.

Определение. Две прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они при пересечении образуют прямые углы.

Если прямые а и b (АВ и СD) перпендикулярные, то используется обозначение а b (АВ СD). Запись а b читают следующим образом: «Прямая а перпендикулярна прямой b».

Лучи и отрезки называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

Отрезок называется перпендикулярным прямой, если он лежит на прямой, перпендикулярной данной прямой.

На рисунке 54, B изображены перпендикулярные прямые а и b, содержащие две стороны квадрата.

Теорема 3. Через каждую точку прямой в плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой.

1. Докажем, что такая прямая существует.

Пусть l — данная прямая, А — произвольная точка прямой l. Пусть AF — один из лучей этой прямой с началом в точке А.

На основании аксиомы откладывания угла отложим от луча AF прямой угол TAF. Тогда прямая b, содержащая луч AT, перпендикулярна прямой l (рис. 54, в).

2. Докажем, что такая прямая единственная.

Допустим, что существует еще одна прямая b₁, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой l.

Пусть АС — луч этой прямой, лежащий в одной полуплоскости с лучом AT. Каждый из углов FAT и FAC — прямой и отложен от данного луча в одной полуплоскости.

Согласно аксиоме откладывания угла, от данного луча в данную полуплоскость можно отложить только один прямой угол. Следовательно, не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой l.

Доказательство от противного

При доказательстве предыдущей теоремы применялся способ, который называется доказательством от противного.

Этот способ доказательства состоит в том, что сначала делают предположение о верности утверждения, противоположного тому, которое необходимо доказать. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, приходят к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании делают вывод, что сделанное предположение было неверным, а, следовательно, верно утверждение теоремы.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник